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MATEMÁTICAS II

KIMBERLY GUTIÉRREZ PÉREZ

El objetivo principal de este blogger es brindar un poco más de conocimiento sobre las matemáticas II y lo que vimos en clase en el transcurso del semestre.

REFERENCIA DEL LIBRO

Arya. (2009). matemáticas aplicadas a la administración y economía. 19-11-15, de Departament of Mathematics, Simon Fraser University Sitio web:

https://hugarcapella.files.wordpress.com/2008/11/matematicas-aplicadas-a-la-administracion-airya-5edi.pdf

Objetivo General:

El estudiante adquirirá destreza en el manejo de técnicas y procedimientos para la solución de problemas. Hará uso de lenguaje matemático, de la sistematización de información y de las formas de representación gráfica y analítica. Manejará los conocimientos, métodos y algoritmos matemáticos establecidos en los programas, tanto básicos como auxiliares para abordar los contenidos de otras materias. Elaborará y usará modelos matemáticos en la resolución de problemas de optimización de recursos y en el análisis económico de problemas en el ámbito de las empresas.

Unidad 1. Introducción al cálculo en dos variables.

1.1 Funciones en dos variables.

1.2 Derivadas parciales.

1.3 Máximos y mínimos de funciones de dos variables.

Unidad 2. Integración.

2.1 Antiderivada.

2.2 Integral indefinida.

2.2.1 Integración con condiciones iniciales.

2.3 Fórmulas básicas de integración.

2.3.1 Integral indefinida de una constante.

2.3.2 Integral de una constante por variables.

2.3.3 Integral de x.

2.3.4 Integral de e.

2.3.5 Integral de una constante por una función de x.

2.3.6 Integral de una suma (diferencia) de funciones.

2.3.7 Regla de la potencia.

2.3.7.1 Integrales que incluyen u.

2.3.7.2 Integrales que incluyen funciones exponenciales.

2.3.8 Integrales que incluyen funciones logarítmicas.

2.3.9 Integrales que incluyen (1/u) du.

2.3.10 Integrales que incluyen a.

2.3.11 Integrales por partes.

2.4 Aplicaciones: Determinación de funciones de costo utilidades, consumo y ahorro a partir de sus marginales.

Unidad 3. Integral definida.

3.1 Área bajo la curva

3.2 Teorema fundamental del cálculo.

3.3 Propiedades de la integral definida.

3.4 Área entre una y dos curvas.

 3.5 Aplicaciones: Excedente del consumidor y del productor, valor presente y valor futuro.

Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices.

4.1 Sistemas de ecuaciones lineales.

4.1.1 Definición.

4.1.2 Sistemas de ecuaciones lineales.

4.1.3 Métodos para resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

4.1.4 Sistemas de ecuaciones equivalentes.

4.1.5 Eliminación de Gauss y Gauss-Jordan.

4.1.5.1 Definición de matriz.

4.1.5.2 Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales.

4.1.5.3 Operaciones elementales sobre renglones.

4.1.5.4 Reducción de Gauss y Gauss-Jordan.

4.1.5.5 Sistemas homogéneos.

4.2 Algebra de matrices.

4.2.1 Tipos de matrices.

4.2.2 Operaciones con matrices.

4.2.3 Propiedades de las operaciones con matrices.

4.2.4 Matriz inversa.

4.3 Determinantes.

4.3.1 Definición de un determinante.

4.3.2 Expansión por cofactores.

4.3.3 Propiedades de los determinantes.

4.3.4 Regla de Cramer.

4.4 Aplicaciones: Modelo insumo-producto, análisis de ventas y comportamiento del consumidor.

MODULO 1. Introducción al cálculo en dos variables.

Objetivo Particular del Periodo:

El alumno comprenderá los conceptos básicos del cálculo diferencial en varias variables, así como la resolución de problemas en el entorno económico-administrativo, enfatizando aquellos del área de optimización de recursos. 

DERECHO DE AUTOR

espol50. (26 may. 2011). Cálculo Diferencial - Introducción a funciones de variable real - Sesión 2 2/3. 30/11/2015, de youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=cDyYMGNFGTA&ab_channel=espol50

1.1 Funciones en dos variables.

Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z.

El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia resulta un número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contra dominio.

Una función de dos variables se denota usualmente con la notación

z = f (x, y)

Las variables x, y se llaman variables independientes, y z se llama variable dependiente.

La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio de f y z = f (x, y).

Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.

En consecuencia, la gráfica de una función f de dos variables es una superficie que consta de todos los puntos del espacio tridimensional cuyas coordenadas cartesianas están determinadas por las ternas ordenadas de números reales (x, y, z). Como el dominio de f es un conjunto de puntos del plano x, y, y puesto que cada par ordenado (x, y) del dominio de f corresponde a solo un valor de z, ninguna recta perpendicular al plano x,y puede interceptar a la gráfica de f en mas de un punto.

DERECHO DE AUTOR 

molinares, m. f. (s.f.). Funciones de dos y más variables, dominio yrango, y curva de nivel. Recuperado el 30 de 11 de 2015, de monografias:http://www.monografias.com/trabajos78/funciones-dominio-rango-curva-nivel/funciones-dominio-rango-curva-nivel.shtml

1.2 Derivadas parciales.

En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.

La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

Donde  es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.

Cuando una magnitud  es función de diversas variables (,,,), es decir:

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función  en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.

Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

DERECHO DE AUTOR

Weisstein, E. W. (16 de 07 de 2014). Derivada parcial. Recuperado el 30 de 11 de 2015, de wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial

DERECHO DE AUTOR

Weisstein, E. W. (16 de 07 de 2014). Derivada parcial. Recuperadoel 30 de 11 de 2015, de wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial

1.3 Máximos y mínimos de funciones de dos variables.

Academatica. 

En este video explico como encontrar los puntos críticos de una función de dos variables. También demuestro la prueba de la segunda derivada para funciones de dos variables.

DERECHO DE AUTOR

Academatica. (08 de 08 de2013). Máximos y mínimos funciones de dos variables HD. Recuperado el 30de 11 de 2015, de YOUTUBE: https://www.youtube.com/watch?v=dhhmhSAOEug

1.4 Aplicaciones: Optimización de funciones de dos variables que representen gastos, ingresos o utilidad.

Función de Costo

Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, C(x) es el costo de x artículos, y tiene la forma

Costo = Costo variable + Costo fijo

en la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de la forma

C(x) = mx + b

se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el costo fijo es b.La pendiente m, el costo marginal, mide el costo incremental por artículo.

Función de ingreso

El ingreso que resulta de una o más transacciones comerciales es el pago total recibido, y a veces se la llama ingreso bruto. Si I(x) es el ingreso por vender x artículos al precio de m cada uno, entonces I es la función lineal I(x) = mx y el precio de venta m se puede tamién llamar ingreso marginal.

Ejemplo

Suponga que su casa editorial vende libros ciencia ficción rústicos a una detallisa para $6.50 por libro. Entonces

I(x) = 6.50x dolares.

El ingreso marginal es m = $6.50 por libro.

Función utilidad

La utilidad es el ingreso neto, o lo que queda de los ingresos después de restar los costos. Si la utilidad depende linealmente en el número de artículos, entonces la pendiente m se llama la utilidad marginal. La utilidad, el ingreso, y el costo son relacionados por la siguiente formula:

Utilidad                =             Ingreso − Costo

U            =             I − C

Si la utilidad es negativa, por ejemplo −$500, se denomina pérdida (de $500 en este caso). El equilibrio, salir a la par o salir tablas quiere decir no obtener utilidades ni tener pérdidas. De esta forma, equilibrio ocurre cuando U = 0, o

I = C                       Equilibrio

El puno equilibrio es el número de articulos x a lo cual presenta el equilibrio.

Ejemplo

Si regresamos al ejemplo de las novelas ciencia ficción, ya tenemos las funciones costo y ingreso:

C(x) = 3.50x + 1200 dollars.          Costo diario de imprimir x libros

I(x) = 6.50x dollars.                         Ingresos por la venta de x libros

DERECHO DE AUTOR

Funciones y modelos. (s.f.). Recuperado el 29 de 11 de 2015, de Matematicas finitas y calculo aplicado: http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutorialsf0/unitF2A.html

Conclusión de Unidad:

Para mi las funciones se me hicieron muy simples, pero ya con formulas aplicadas se complica un poco mas, buena unidad, y buen aprendizaje. 

MODULO 2. Integración

Actividades de Aprendizaje en Clase:

El alumno conocerá el concepto de antiderivadas.

El alumno conocerá el concepto de integración, así como sus propiedades.

Aplicara la determinación de funciones de costo, utilidad, consumo y ahorro a partir de sus marginales.

Objetivo Particular del Periodo:

El alumno entenderá el concepto de integral y su relación con la derivada. Resolverá problemas de aplicación dando énfasis a aquellos relacionados con las áreas económico-administrativas tales como: Economía, Mercadotecnia, Administración, Turismo, Recursos Humanos, Sistemas de Información y Negocios Internacionales.

La palabra integración tiene su origen en el concepto latino integratĭo. Se trata de la acción y efecto de integrar o integrarse (constituir un todo, completar un todo con las partes que faltaban o hacer que alguien o algo pase a formar parte de un todo).

No obstante, el término que nos ocupa también se emplea en el ámbito científico. Concretamente se utiliza en las Matemáticas para referirse a la suma que se lleva a cabo de infinitos sumandos. Como integral se denomina también a este concepto básico dentro del sector del cálculo, que tiene un origen antiquísimo pues ya fue utilizado por Arquímedes. Y tras él hicieron lo propio otras figuras tales como Isaac Newton o Leibniz.

La integración social, por su parte, es un proceso dinámico y multifactorial que supone que gente que se encuentra en diferentes grupos sociales (ya sea por cuestiones económicas, culturales, religiosas o nacionales) se reúna bajo un mismo objetivo o precepto.

De esta forma, la integración social puede darse dentro de un cierto país, cuando se busca que las personas que pertenecen a los estratos sociales más bajos logren mejorar su nivel de vida. Para esto, el Estado o las instituciones civiles deben promover políticas y acciones para fomentar habilidades de autonomía personal y social, la inserción ocupacional, la educación y la adecuada alimentación.

Asimismo, además de la integración social, también podemos hablar de la conocida como integración racial. Con ella lo que se persigue básicamente es que exista una igualdad real entre las personas independientemente de su raza y que se desarrolle una cultura donde exista la tolerancia necesaria para que todas las culturas tengan cabida y sean respetadas, entre otros objetivos.

Por otra parte, la integración puede ser buscada por distintos países, para potenciar la capacidad de cada nación y, en el trabajo conjunto, mejorar la situación de todos los habitantes. Un ejemplo de integración política y económica es el Mercado Común del Sur (Mercosur), formado por Argentina, Brasil, Paraguay,Uruguay, Venezuela, Bolivia, Chile, Colombia, Ecuador y Perú (aunque con distintos tipos de membresía).

Entre los elementos fundamentales que deben existir para sustentar e incentivar la mencionada integración económica están la unión económica y monetaria, el mercado común, la zona de libre comercio o la zona preferencial de comercio.

Asimismo en el marco de aquel continente existe lo que se conoce como integración latinoamericana. Un término con el que se viene a definir y englobar a todo el conjunto de acciones, de diversa tipología, con el que lo que se persigue es aunar a los países de América Latina siempre respetando la esencia y las señas de identidad de cada uno de ellos.

Para conseguir todo ello existen diversos organismos de tipo supranacional y se desarrollan un sinfín de actuaciones tanto a nivel político como económico, cultural o social.

En todos los casos, la integración siempre supone el esfuerzo coordinado, la planeación conjunta y la convivencia pacífica entre los sectores que conforman el grupo. Esa es la única forma donde las partes pueden constituir un todo, aún sin perder su individualidad.

DERECHO DE AUTOR

julioprofe. (30 de 08 de2009). Integración por Fracciones Parciales - Ejercicio 1. Recuperado el30 de 11 de 2015, de YOUTUBE: https://www.youtube.com/watch?v=sIJtWkE-t3w

2.1 Antiderivada.

ANTIDERIVADAS

La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Por ejemplo:

Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una antiderivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivada de f(x).

La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.

Notación

La notación que emplearemos para referirnos a una antiderivada es la siguiente:

Teorema

Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma función f en un conjunto D de números reales, entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.

Conclusión: Si g(x) es una antiderivada de f en un conjunto D de números reales, entonces cualquier antiderivada de f es en ese conjunto D se puede escribir comoc constante real.

Fórmula que relaciona la integral definida y la indefinida

A la hora de resolver una antiderivada o integral indefinida se deben tener disponibles los recursos aritméticos y heurísticos. Estos son:

• Concepto.
• Propiedades.
• Reglas de integración.
• Integrales inmediatas.
• Métodos clásicos de integración:

-Integración por sustitución.

-Integración por partes.

-Integración de fracciones racionales mediante fracciones simples.

• Uso de tablas.
• Integración de funciones trigonométricas sencillas.
• Integración de funciones racionales sencillas.

DERECHO DE AUTOR

 Florencia López. (20 de febrero del 2012). Concepto de Antiderivada. 23-11-15, de Florencia López Sitio web: http://calculodiferencialgrupo501.blogspot.mx/2012/02/concepto-de-antiderivada.html

2.2 Integral indefinida.

En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.

Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.

Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F₁ y F₂ son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F₁ = F₂ + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:

   ó   

El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.

EJEMPLO

Una primitiva de la función  en  es la función  ya que:

Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que cos(x) tendrá un número infinito de primitivas tales como sin(x), sin(x) + 5, sin(x) - 100, etc. Es más, cualquier primitiva de la función f(x) = cos(x) será de la forma sin(x) + C donde C es una constante conocida como constante de integración.

DERECHO DE AUTOR

Hazewinkel, M. e. (2001). Integración indefinida. Recuperado el 29 de 11 de 2015, de Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_indefinida

2.2.1 Integración con condiciones iniciales.

Dentro del cálculo, cualquier integral indefinida de una función se escribe siempre con una constante, la cual se llama constante de integración. La constante de integración se encarga de expresar una ambigüedad inherente a la construcción de primitivas.

Como ya lo sabes, al derivar cualquier función constante, obtendremos como resultado cero. Una vez encontrado dicho resultado se considera una primitiva F a la cual se le puede sumar o restar una constante C, con lo cual se obtiene otra primitiva. Con esto lo que se trata de explicar es que la constante es una manera de expresar que cualquier función cuenta con un número infinito de primitivas diferentes.

Para un mejor entendimiento te invito a que observes las funciones que se te presentan a continuación, en las que podemos darnos cuenta de que la constante C puede tomar valores diferentes tal y como se te explico anteriormente, valores que pueden ser restados o sumados a la función original. Los ejemplos son los siguientes:

• f(x) = x + 2
• f(x) = x – 8
• f(x) = x + 1

Podemos observar que en estos ejemplos, las constantes de integración tienen valores de 2, -8 y 1. Ahora supongamos que derivamos las 3 funciones, y obtenemos los siguientes resultados:

• f ‘ (x) = x
• f ‘ (x) = x
• f ‘ (x) = x

Como te puedes dar cuenta, los resultados de las 3 funciones son el mismo, ¿A qué se debe esto?, ¿Qué pasó con los valores 2, -8 y 1? Es importante aclarar que dentro del cálculo diferencial estos valores tienen un valor de 0, al contrario del cálculo integral, donde son de gran importancia si se quieren obtener las funciones originales a partir de las funciones que ya han sido derivadas.

DERECHO DE AUTOR

La constante de integración y sus condiciones iniciales. (23 de 03 de 2012). Recuperado el 29 de 11 de 2015, de calculointegralunivia: https://calculointegralunivia.wordpress.com/2012/03/23/la-constante-de-integracion-y-sus-condiciones-iniciales/